知识拓展练习（经典面试题） / 49. 合并区间

一、题目

以数组 intervals 表示若干个区间的集合，其中单个区间为 intervals[i] = [starti, endi] 。请你合并所有重叠的区间，并返回一个不重叠的区间数组，该数组需恰好覆盖输入中的所有区间。

二、示例

示例 1：

输入：intervals = [[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]]
输出：[[1,6],[8,10],[15,18]]
解释：区间 [1,3] 和 [2,6] 重叠, 将它们合并为 [1,6].

示例 2：

输入：intervals = [[1,4],[4,5]]
输出：[[1,5]]
解释：区间 [1,4] 和 [4,5] 可被视为重叠区间。

三、提示

1 <= intervals.length <= 10^4
intervals[i].length == 2
0 <= starti <= endi <= 10^4

四、参考题解

1、方法一：排序

（1）思路

如果我们按照区间的左端点排序，那么在排完序的列表中，可以合并的区间一定是连续的。如下图所示，标记为蓝色、黄色和绿色的区间分别可以合并成一个大区间，它们在排完序的列表中是连续的：

（2）算法

我们用数组 merged 存储最终的答案。

首先，我们将列表中的区间按照左端点升序排序。然后我们将第一个区间加入 merged 数组中，并按顺序依次考虑之后的每个区间：

①如果当前区间的左端点在数组 merged 中最后一个区间的右端点之后，那么它们不会重合，我们可以直接将这个区间加入数组 merged 的末尾；

②否则，它们重合，我们需要用当前区间的右端点更新数组 merged 中最后一个区间的右端点，将其置为二者的较大值。

（3）正确性证明

上述算法的正确性可以用反证法来证明：在排完序后的数组中，两个本应合并的区间没能被合并，那么说明存在这样的三元组 (i,j,k) 以及数组中的三个区间 a[i],a[j],a[k] 满足 i<j<k 并且 (a[i],a[k]) 可以合并，但 (a[i],a[j]) 和 (a[j],a[k]) 不能合并。这说明它们满足下面的不等式：

a[i].end<a[j].start(a[i] 和 a[j] 不能合并)
a[j].end<a[k].start(a[j] 和 a[k] 不能合并)
a[i].end≥a[k].start(a[i] 和 a[k] 可以合并)

我们联立这些不等式（注意还有一个显然的不等式 a[j].start≤a[j].end），可以得到：

a[i].end<a[j].start≤a[j].end<a[k].start

产生了矛盾！这说明假设是不成立的。因此，所有能够合并的区间都必然是连续的。

//Java
class Solution {
  public int[][] merge(int[][] intervals) {
    if (intervals.length == 0) {
      return new int[0][2];
    }
    Arrays.sort(intervals, new Comparator<int[]>() {
      public int compare(int[] interval1, int[] interval2) {
        return interval1[0] - interval2[0];
      }
    });
    List<int[]> merged = new ArrayList<int[]>();
    for (int i = 0; i < intervals.length; ++i) {
      int L = intervals[i][0], R = intervals[i][1];
      if (merged.size() == 0 || merged.get(merged.size() - 1)[1] < L) {
        merged.add(new int[]{L, R});
      } else {
        merged.get(merged.size() - 1)[1] = Math.max(merged.get(merged.size() - 1)[1], R);
      }
    }
    return merged.toArray(new int[merged.size()][]);
  }
}