知识拓展练习（经典面试题） / 27. 两数之和 II - 输入有序数组

一、题目

给你一个下标从 1 开始的整数数组 numbers ，该数组已按 非递减顺序排列 ，请你从数组中找出满足相加之和等于目标数 target 的两个数。如果设这两个数分别是 numbers[index1] 和 numbers[index2] ，则 1 <= index1 < index2 <= numbers.length 。

以长度为 2 的整数数组 [index1, index2] 的形式返回这两个整数的下标 index1 和 index2。

你可以假设每个输入 只对应唯一的答案 ，而且你 不可以 重复使用相同的元素。

你所设计的解决方案必须只使用常量级的额外空间。

二、示例

示例 1：
输入：numbers = [2,7,11,15], target = 9
输出：[1,2]
解释：2 与 7 之和等于目标数 9 。因此 index1 = 1, index2 = 2 。返回 [1, 2] 。
示例 2：
输入：numbers = [2,3,4], target = 6
输出：[1,3]
解释：2 与 4 之和等于目标数 6 。因此 index1 = 1, index2 = 3 。返回 [1, 3] 。
示例 3：
输入：numbers = [-1,0], target = -1
输出：[1,2]
解释：-1 与 0 之和等于目标数 -1 。因此 index1 = 1, index2 = 2 。返回 [1, 2] 。

三、提示

2 <= numbers.length <= 3 * 10^4
-1000 <= numbers[i] <= 1000
numbers 按 非递减顺序 排列
-1000 <= target <= 1000
仅存在一个有效答案

四、参考题解

1、前言

这道题可以使用「1. 两数之和」的解法，使用 O(n^2) 的时间复杂度和 O(1) 的空间复杂度暴力求解，或者借助哈希表使用 O(n) 的时间复杂度和 O(n) 的空间复杂度求解。但是这两种解法都是针对无序数组的，没有利用到输入数组有序的性质。利用输入数组有序的性质，可以得到时间复杂度和空间复杂度更优的解法。

2、方法一：二分查找

在数组中找到两个数，使得它们的和等于目标值，可以首先固定第一个数，然后寻找第二个数，第二个数等于目标值减去第一个数的差。利用数组的有序性质，可以通过二分查找的方法寻找第二个数。为了避免重复寻找，在寻找第二个数时，只在第一个数的右侧寻找。

//Java
class Solution {
  public int[] twoSum(int[] numbers, int target) {
    for (int i = 0; i < numbers.length; ++i) {
      int low = i + 1, high = numbers.length - 1;
      while (low <= high) {
        int mid = (high - low) / 2 + low;
        if (numbers[mid] == target - numbers[i]) {
          return new int[]{i + 1, mid + 1};
        } else if (numbers[mid] > target - numbers[i]) {
          high = mid - 1;
        } else {
          low = mid + 1;
        }
      }
    }
    return new int[]{-1, -1};
  }
}


复杂度分析

时间复杂度：O(nlog⁡n)，其中 n 是数组的长度。需要遍历数组一次确定第一个数，时间复杂度是 O(n)，寻找第二个数使用二分查找，时间复杂度是 O(log⁡n)，因此总时间复杂度是 O(nlog⁡n)。

空间复杂度：O(1))。

3、方法二：双指针

初始时两个指针分别指向第一个元素位置和最后一个元素的位置。每次计算两个指针指向的两个元素之和，并和目标值比较。如果两个元素之和等于目标值，则发现了唯一解。如果两个元素之和小于目标值，则将左侧指针右移一位。如果两个元素之和大于目标值，则将右侧指针左移一位。移动指针之后，重复上述操作，直到找到答案。

使用双指针的实质是缩小查找范围。那么会不会把可能的解过滤掉？答案是不会。假设 numbers[i]+numbers[j]=target 是唯一解，其中 0≤i<j≤numbers.length−1。初始时两个指针分别指向下标 0 和下标 numbers.length−1，左指针指向的下标小于或等于 i，右指针指向的下标大于或等于 j。除非初始时左指针和右指针已经位于下标 i 和 j，否则一定是左指针先到达下标 i 的位置或者右指针先到达下标 j 的位置。

如果左指针先到达下标 i 的位置，此时右指针还在下标 j 的右侧，sum>target，因此一定是右指针左移，左指针不可能移到 i 的右侧。

如果右指针先到达下标 j 的位置，此时左指针还在下标 i 的左侧，sum<target，因此一定是左指针右移，右指针不可能移到 j 的左侧。

由此可见，在整个移动过程中，左指针不可能移到 i 的右侧，右指针不可能移到 j 的左侧，因此不会把可能的解过滤掉。由于题目确保有唯一的答案，因此使用双指针一定可以找到答案。

//Java
class Solution {
  public int[] twoSum(int[] numbers, int target) {
    int low = 0, high = numbers.length - 1;
    while (low < high) {
      int sum = numbers[low] + numbers[high];
      if (sum == target) {
        return new int[]{low + 1, high + 1};
      } else if (sum < target) {
        ++low;
      } else {
        --high;
      }
    }
    return new int[]{-1, -1};
  }
}


复杂度分析

时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组的长度。两个指针移动的总次数最多为 n 次。

空间复杂度：O(1)。